Willkommen beim Ableitungsrechner
Geben Sie einfach Ihre mathematische Funktion ein und sehen Sie in Echtzeit eine Vorschau. Unser Rechner zeigt Ihnen dann Schritt für Schritt, wie die Ableitung gebildet wird – ideal zum Lernen und Überprüfen Ihrer Hausaufgaben.
Was ist eine Ableitung? 🤔
Die Ableitung einer Funktion ist eines der wichtigsten Konzepte der Analysis. Vereinfacht gesagt, beschreibt die Ableitung an einem bestimmten Punkt die Steigung des Funktionsgraphen genau an dieser Stelle. Sie gibt also an, wie stark sich der Funktionswert ändert, wenn man die Eingabe minimal variiert. Mit der Ableitung, bezeichnet als $f'(x)$ oder $\frac{d}{dx}f(x)$, können wir Extremwerte, Wendepunkte und das allgemeine Monotonieverhalten von Funktionen analysieren.
Wie der Ableitungsrechner arbeitet ⚙️
Dieser Rechner ist mehr als nur ein Werkzeug zur schnellen Ergebnisfindung – er ist als Lernhilfe konzipiert, die dir das Verständnis für Ableitungen erleichtern soll.
Speziell für Schüler und Studenten entwickelt, zerlegt er jede Funktion in ihre kleinsten, logischen Teile und wendet die passenden Ableitungsregeln an. Dabei wird bewusst kein Schritt übersprungen. Selbst grundlegende Ableitungen wie $\frac{d}{dx}(x) = 1$ werden explizit aufgeführt, damit der Rechenweg lückenlos nachvollziehbar ist.
So kannst du auch ohne tiefgehende Vorkenntnisse in das oft konfuse Thema der Differentialrechnung einsteigen und bist bestens für die nächste Prüfung gewappnet. 🎓
Die wichtigsten Ableitungsregeln 📚
Um die Ableitung komplexerer Funktionen zu finden, zerlegt man sie in einfachere Teile und wendet grundlegende Regeln an. Unser Rechner beherrscht diese und viele weitere Regeln und zeigt Ihnen jeden Schritt im Detail.
Potenzregel
Wird für Potenzen wie $x^n$ angewendet. Der Exponent wird zum Faktor und anschließend um eins reduziert.
Summen-/Differenzenregel
Erlaubt es, Summen und Differenzen Glied für Glied abzuleiten. Jeder Teil wird einzeln für sich betrachtet.
Produktregel
Nötig, wenn zwei Funktionen wie $u(x) \cdot v(x)$ multipliziert werden. Die Formel lautet: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.
Quotientenregel
Die Regel zur Ableitung von Brüchen. Ihre Struktur lautet: $\frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Kettenregel
Die wichtigste Regel für "verschachtelte" Funktionen. Man leitet die äußere Funktion ab und multipliziert das Ergebnis mit der Ableitung der inneren Funktion.
Ableitung der Exponentialfunktion
Die Ableitung der natürlichen e-Funktion $e^x$ ist wieder die e-Funktion selbst. Bei einem komplexeren Exponenten kommt die Kettenregel hinzu.
Kettenregel für den natürlichen Logarithmus
Die Ableitung des natürlichen Logarithmus $\ln(x)$ ist $\frac{1}{x}$. Für verkettete Ausdrücke wird die Kettenregel benötigt.
Faktorregel
Ein konstanter Faktor vor einer Funktion bleibt beim Ableiten einfach erhalten und wird mit dem Ergebnis multipliziert.